Una regla de 3 es un método simple para resolver un problema de proporciones. Las reglas de tres simples, son un procedimiento muy común en el día a día y por eso es tan importante aprender todo sobre este método: Regla de Tres.
Cuando tenemos 3 valores conocidos y conocemos una relación de proporcionalidad entre ellos, podemos usar una regla de 3 para calcular un cuarto valor no conocido.
La proporcionalidad entre las variables A y B, pueden ser de dos tipos: directas o inversas.
Proporción directa: cuando a mayor valor de A, le corresponde un mayor valor de B.
Ejemplo: A es venta y B es comisión. A mayor venta, mayor comisión.
Proporción Inversa: Cuando a mayor valor de A, le corresponde un menor valor de B
Ejemplo: A personas trabajando en un proyecto y B horas para terminar el proyecto. Contra más personas trabajan, menos horas deberá dedicar cada uno.
En este artículo explicaremos como resolver un regla de tres cuando la proporción es directa y cómo hacerlo cuando la proporción es inversa.
La regla de tres es directa cuando la proporción entre las dos variables es que a mayor A, mayor es B y a menor A, menor es B. Es decir cuando aumenta o disminuye la magnitud de una variables, de igual forma lo hace la otra variables.
Si tenemos los valores conocidos: A, B y C. y sabemos que la proporción entre A y B es directa. Es decir que a mayor A, mayor es B y viceversa. Entonces se cumple la proporción:
Siendo así la relación de una regla de 3 directa, para calcular el valor de la incógnita “X”.
Ejemplos de Regla de Tres Simple Directa.
Para entender bien las reglas de tres simples de proporción directa, resolveremos juntos algunos problemas a continuación:
Ejemplo 1: El viaje de Barcelona a Manresa son 50 km y el coche consume 20 litros de gasolina, si quiero hacer un viaje más largo de 120 km ¿Cuántos litros de gasolina va a consumir el coche?
Paso 1: lo primero que debemos hacer es preguntarnos ¿hay una proporción directa entre la variables? Entonces:
A: km recorridos y B: gasolina consumida. Entre más km recorro, mas gasolina consume el coche y viceversa. Sí, es una relación directa.
Paso 2: planteamos la regla de 3, con los tres valores conocidos:
Paso 3: Resolvemos la regla de 3 y conseguimos el valor de la incógnita “X”: cuantos litros de gasolina consumiría en un viaje de 120km.
RESPUESTA: para realizar un viaje de 120 km, el coche consumirá 48 litros de gasolina.
Ejemplo2: El mes pasado vendí 455 euros y gane una comisión de 25 euros. Este mes voy a vender 350 euros ¿Cuánto será mi comisión?
Paso 1: lo primero que debemos hacer es preguntarnos ¿hay una proporción directa entre la variables? Entonces:
A: ventas realizadas y B: comisión por ventas. Entre más vendo, mas comisión gano y viceversa. Sí, es una relación directa.
Paso 2: planteamos la regla de 3, con los tres valores conocidos:
Paso 3: Resolvemos la regla de 3 y conseguimos el valor de la incógnita “X”: cuanto será mi comisión por vender 350 euros.
RESPUESTA: al vender 350 euros, recibiré una comisión de 19,23 euros.
La regla de tres es inversa cuando la proporción entre las dos variables es que a mayor A, menor es B y a menor A, mayor es B. Es decir, cuando aumenta o disminuye la magnitud de una variable, la otra variable es inversa.
Si tenemos los valores conocidos: A, B y C. y sabemos que la proporción entre A y B es inversa. Es decir que a mayor A, menor es B y viceversa. Entonces se cumple la proporción:
Siendo así la relación de una regla de 3 inversa, para calcular el valor de la incógnita “X”.
Ejemplos de Regla de Tres Simple Inversa.
Para afianzar las reglas de tres simples de proporción inversa, resolveremos juntos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: se sabe que para construir un edificio en 575 horas se necesitan 10 obreros. Sin embargo, solo se podrán contratar 7 obreros, ¿Cuánto tardara en construirse el edificio?
Paso 1: lo primero que debemos hacer es preguntarnos ¿hay una proporción inversa entre la variables? Entonces:
A: horas y B: obreros. Entre más obreros trabajen, menos horas tardaran en construir el edificio y viceversa. Sí, es una relación inversa.
Paso 2: planteamos la regla de 3, con los tres valores conocidos:
Paso 3: Resolvemos la regla de 3 inversa y conseguimos el valor de la incógnita “X”: cuantas horas tardaran en construir el edificio con 7 obreros
RESPUESTA: se necesitan 821 horas para construir el edificio con 7 obreros.
Ejemplo2: Juan sabe que si viaja a 120 km por hora, tarda 4 horas en llegar a Madrid, ¿Cuántas horas tardara en llegar si viaja a 95 km por hora?
Paso 1: lo primero que debemos hacer es preguntarnos ¿hay una proporción directa entre la variables? Entonces:
A: velocidad y B: horas en llegar al destino. Entre más rápido viajo, menos horas tardo en llegar al destino y viceversa. Sí, es una relación inversa.
Paso 2: planteamos la regla de 3 inversa, con los tres valores conocidos:
Paso 3: Resolvemos la regla de 3 inversa y conseguimos el valor de la incógnita “X”: cuantas horas tarda Juan en llegar a Madrid viajando a 95 km por hora.
RESPUESTA: Si Juan viaja a 95 km por hora, tardara 5.05 horas en llegar a Madrid.
Esperamos haber aclarado todas tus dudas sobre reglas de 3, cualquier duda, déjanos tus comentarios.
Para restar potencias se deben calcular el valor de las potencias y luego realizar la resta. No importa si tienen la misma base o no, el procedimiento es el mismo: se calcula el valor de la potencia y luego se realiza la resta de ambos valores.
Es decir, algunos ejemplos de cómo calcular el valor de una potencia:
5² = 5 x 5 = 25 (25 es el valor de la potencia 5²).
2³ = 2 x 2 x 2 = 8 (8 es el valor de la potencia 2³)
3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 (243 es el valor de la potencia 3⁵)
Entonces, ¿cómo se resuelven las restas de las potencias?
Resta de Potencia con Diferente Base.
Para restar potencia con bases diferentes. Debes calcular el valor de la potencia y luego resolver la resta.
Paso 2: sustituimos las potencias por sus valores:
5⁵ – 5³ – 5² = 3.125 – 125 – 25
Paso 3: resolvemos la resta:
3.125 – 125 – 25 = 2.975
Respuesta Final: 5⁵ – 5³ – 5² = 2.975
NOTA: recuerda que al restar potencias de misma base, NO se deben restar los exponentes. Siempre debemos: calcular el valor de la potencia y luego resolver la resta.
5⁵ – 5³ – 5² ≠ 5⁵ ⁻ ³ ⁻ ² esto NO es correcto
Comprobar que no es correcto: 5⁵ ⁻ ³ ⁻ ² = 5⁰ = 1
Arriba calculamos que la respuesta correcta es:5⁵ – 5³ – 5² = 2.975
Resta de Potencias cuando la Base es una Variable.
Para restar potencia donde la base es una misma variable, se deben agrupar los términos de cada grado y listo, ese será el resultado.
Paso 1: se agrupan las potencias de mismo grado. Para esto restamos las bases con potencias del mismo grado. En este caso tenemos: 6x⁵ y -x⁵. Po los tanto restamos las bases: 6 – 1 = 5. Agrupando entonces todos los polinomios de grado 5. 6x⁵ – x⁵ = 5x⁵
Paso 2: escribimos el polinomio con cada grado agrupado:
6x⁵ – x⁵ – x² = 5x⁵ – x²
Respuesta Final: 6x⁵ – x⁵ – x² = 5x⁵ – x²
Ejercicios Resueltos de Restas de Potencia.
Ejercicio 1: 7³ – 2⁴
Calculamos el valor de las potencias: 343 – 16
Resolvemos la resta: 327
Resultado: 7³ – 2⁴ = 327
Ejercicio 2: 4⁴ – 2⁵ – 3²
Calculamos el valor de las potencias: 256 – 32 – 9
Resolvemos la resta: 215
Resultado: 4⁴ – 2⁵ – 3² = 215
Ejercicio 3: 6³ – 6² – 6² – 6
Calculamos el valor de las potencias: 216 – 36 – 36 – 6
Resolvemos la resta: 138
Resultado: 6³ – 6² – 6² – 6 = 138
Ejercicio 4: 2⁴ – 2⁵ – 2 – 2²
Calculamos el valor de las potencias: 16 – 32 – 2 – 4
Resolvemos la resta: -22
Resultado: 2⁴ – 2⁵ – 2 – 2² = -22
Ejercicio 5: 5x³ – x⁴ – x⁴ – 3x³ – 2x
Agrupamos las potencias por grados:
Grado 3: 5x³ – 3x³
Grado 4: – x⁴ – x⁴
Grado 1: – 2x
Resolvemos las restas de las bases de cada grado de potencia:
Quien definirá el grado del polinomio P(x), es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variante x. Los polinomios van desde el grado cero, y en este artículo veremos ejemplos para determinar hasta el grado seis (6) de un polinomio.
Luego, resolveremos juntos algunos ejercicios para aclarar todas las dudas sobre como determinar los grados de un polinomio.
Polinomio de Grado Cero.
Algunos ejemplos de polinomio de grado cero:
P(x) = 5
P(x) = 63
P(x) = 501
Polinomio de Grado Uno (1).
Cuando el exponente más grande la variable x es 1. Algunos ejemplos de polinomio de grado uno:
P(x) = 5x
P(x) = 63 + 6x
P(x) = 2x + 8
Polinomio de Grado Dos (2).
Cuando el exponente más grande la variable x es 2. Algunos ejemplos de polinomio de grado dos:
P(x) = 7x²
P(x) = 6x + x²
P(x) = 5x² + 2x + 3
Polinomio de Grado Tres (3).
Cuando el exponente más grande la variable x es 3. Algunos ejemplos de polinomio de grado tres:
P(x) = 3x³
P(x) = 2x³ – x² + 1
P(x) = 10 + 3x – 8x³
Polinomio de Grado Cuatro (4).
Cuando el exponente más grande la variable x es 4. Algunos ejemplos de polinomio de grado cuatro:
P(x) = 5x⁴ – 3x² + 2
P(x) = 3x³ + 3 – 2x⁴
P(x) = x³ + 3x⁴ – 4x² + 5
Polinomio de Grado Cinco (5).
Cuando el exponente más grande la variable x es 5. Algunos ejemplos de polinomio de grado cinco:
P(x) = x⁵
P(x) = 4x⁴ + 3 x² – 6 + 7x⁵
P(x) = 2x⁵ – 3x²
Polinomio de Grado Seis (6).
Cuando el exponente más grande la variable x es 6. Algunos ejemplos de polinomio de grado seis:
P(x) = 5x⁶ + 3x⁵
P(x) = x² – 3 + 6x⁴ – 3x⁶
P(x) = 6 – 2x² + 4x⁶ – 3x⁵
Observamos entonces como el exponente más grande de la variable “x” es el que determina el grado del polinomio.
Ejercicios para Determinar los Grados de los polinomios:
¿Qué grado es el siguiente polinomio?
P(x) = 5x² + 3x⁵ – 6
Respuesta: es un polinomio de grado 5. Ya que 5 es el mayor exponente de la “x”
¿Qué grado es el siguiente polinomio?
P(x) = 7
Respuesta: es un polinomio de grado 0. Ya que 0 es el mayor exponente de la “x”. Recuerda que cualquier número elevado a la cero es 1.
¿Qué grado es el siguiente polinomio?
P(x) = 2x³ + x⁵ – 4x⁶ + 2
Respuesta: es un polinomio de grado 6. Ya que 6 es el mayor exponente de la “x”
¿Qué grado es el siguiente polinomio?
P(x) = 3x³ + 3x⁴ – 2 + 4x
Respuesta: es un polinomio de grado 4. Ya que 4 es el mayor exponente de la “x”
Esperamos que ahora entiendas como determinar los grados de un polinomio. Si tienes alguna duda, ¡déjanos tus comentarios y con gusto podremos ayudarte!
En este artículo te enseñaremos a leer potencias con exponentes del 0 al 10. Lo primero que aprenderemos es que una potencia se compone de Base y Exponente:
La forma de leer una potencia es decir el número de la base “al o a la” exponente. Pero cada exponente tiene su lectura específica, que aprenderemos a lo largo de este artículo.
En cuanto a que significan, quieres decir que la base se multiplicará por sí misma, tantas veces como lo indique el exponente:
Leer Potencia 0
Se lee el número de la base a la cero. Lo más importante es que sepas que cualquier número elevado a la cero es 1. Es decir:
Leer Potencia 1
Esta potencia no se lee, ya que cualquier número que su exponente sea 1, es el mismo número. Así que, por convención, simplemente se dice el número de la base:
Leer Potencia 2
Se lee como la base al cuadrado, es la potencia más utilizada. Y significa que el número de la base se multiplica por el mismo:
Leer Potencia 3
Se lee como la base al cubo, esta potencia también es muy común. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 3 veces:
Leer Potencia 4
Se lee como la base a la cuarta. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 4 veces:
Leer Potencia 5
Se lee como la base a la quinta. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 5 veces:
Leer Potencia 6
Se lee como la base a la sexta. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 6 veces:
Leer Potencia 7
Se lee como la base a la séptima. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 7 veces:
Leer Potencia 8
Se lee como la base a la octava. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 8 veces:
Leer Potencia 9
Se lee como la base a la novena. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 9 veces:
Leer Potencia 10
Se lee como la base a la décima. Y significa que el número de la base se multiplica por él mismo 10 veces:
Ahora sabes que significan y como leer potencias del 0 al 10. Si tienes alguna duda, déjanos tus comentarios.
En este artículo aprenderemos a multiplicar matrices con ejemplos resueltos. Lo primero que veremos es qué condiciones se deben cumplir para multiplicar matrices, luego resolveremos algunos ejercicios juntos y, por último, veremos que propiedades de la multiplicación aplican en la multiplicación de matrices
Las matrices deben cumplir una condición: el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.
Es importante que recuerdes que la dimensión de una columna es el número de filas (m) por el número de columnas (n), es decir “m x n” = “filas x columnas”
Ejemplos:
¿se pueden multiplicar las dos siguientes matrices?
Para responder si se puede multiplicar estas dos matrices, debemos verificar la condición: ¿el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz? La respuesta es sí, ya que la matriz A tiene 3 columnas y la Matriz B tiene 3 filas. Entonces sí se pueden multiplicar esas dos matrices.
¿Se pueden multiplicar las dos siguientes matrices?
Para responder si se puede multiplicar estas dos matrices, debemos verificar la condición: ¿el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz? La respuesta es no, ya que la matriz “A” tiene 3 columnas y la matriz “B” tiene 2 filas. Entonces no se pueden multiplicar esas dos matrices.
Proceso para Multiplicar Matrices – Ejercicios.
El proceso para multiplicar matrices, lo aprenderemos mediante la resolución de ejercicios. Los resolveremos paso a paso y así aprenderemos juntos a multiplicar matrices.
Ejercicio 1: A x B
Pasos para resolver una multiplicación de matrices:
Paso 1: verificamos que el número de columnas de la matriz “A” sean iguales al número de filas de la matriz “B”.
Matriz “A” es de 3 x 2, es decir tiene 2 columnas
Matriz “B” es de 2 x 3, es decir tiene 2 filas
Como son iguales, entonces se pueden multiplicar.
Paso 2: Se deben multiplicar todos los elementos de la primera fila de la matriz “A” por todos los elementos de la primera columna de la matriz “B”. El resultado se debe colocar como elemento C 1×1 de la matriz respuesta “C”.
Se multiplica el primer elemento de la fila de “A” por el primer elemento de la columna de “B”
Luego, se suma la multiplicación del segundo elemento de la fila de “A” por el segundo elemento de la columna de “B”
Paso 3: se multiplica la primera fila de “A” por la segunda columna de “B”. Se coloca en el elemento C 1×2, de la matriz respuesta “C”
Paso 4: se multiplica la primera fila de “A” por la tercera columna de “B”. Se coloca en el elemento C 1×3, de la matriz respuesta “C”
Paso 5: se multiplica la segunda fila de “A” por la primera columna de “B”. Se coloca en el elemento C 2×1, de la matriz respuesta “C”
Paso 6: se multiplica la segunda fila de “A” por la segunda columna de “B”. Se coloca en el elemento C 2×2, de la matriz respuesta “C”
Paso 7: se multiplica la segunda fila de “A” por la tercera columna de “B”. Se coloca en el elemento C 2×3, de la matriz respuesta “C”
Paso 8: se multiplica la tercera fila de “A” por la primera columna de “B”. Se coloca en el elemento C 3×1, de la matriz respuesta “C”
Paso 9: se multiplica la tercera fila de “A” por la segunda columna de “B”. Se coloca en el elemento C 3×2, de la matriz respuesta “C”
Paso 10: se multiplica la tercera fila de “A” por la tercera columna de “B”. Se coloca en el elemento C 3×3, de la matriz respuesta “C”
Paso 11: se resuelven las operaciones matemáticas de la matriz de respuesta “C”
Respuesta Final: Listo, ya tenemos la respuesta que es una matriz “C” de 3 x 3 =
Ejercicio 2: A x B
Paso 1: verificamos si se puede multiplicar, y de ser así, calculamos la matriz respuesta “C”.
Paso 2: calculamos todos los elementos de la matriz “C” multiplicando las filas de la matriz “A” por las columnas de la matriz “B”
Obteniendo la multiplicación de las filas de matriz “A” por las columnas de la matriz “B” una matriz de dimensión 3 x 2, es decir 3 filas y 2 columnas.
Propiedades de la Multiplicación de Matrices.
A continuación evaluaremos si se cumplen las propiedades de la multiplicación en la multiplicación de matrices.
Si las matrices son cuadradas, se cumple la propiedad asociativa en las matrices. El orden en el que agrupes la multiplicación de matrices cuadradas, no afectara el resultado final:
Elemento Neutro
El elemento neutro de una matriz es la matriz identidad (aprende aquí la clasificación de las matrices). Cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad, dará como resultado la misma matriz. Si llamamos a la matriz identidad “I”. Entonces:
En este artículo te explicaremos qué es una matriz y, con ejemplos, aprenderemos como se clasifican las matrices.
Qué es una Matriz
Una matriz es un conjunto de números reales concentrados. Los números se distribuyen en filas que se identifican con la letra “m” y en columnas que se identifican con la letra “n”.
Cada numero de una matriz de denomina “elemento” y el tamaño de la matriz se llama “dimensión” y se representa como el número de filas por el número de columnas “m x n”.
Ejemplo de Matrices:
La Matriz A: tiene 6 elementos y una dimensión de 2 x 3 (2 filas x 3 columnas)
La Matriz B: tiene 6 elementos y una dimensión de 3 x 2 (3 filas x 2 columnas)
La Matriz C: tiene 9 elementos y una dimensión de 3 x 3 (3 filas x 3 columnas)
A continuación te explicaremos los diferentes tipos de matrices con ejemplos de cada tipo de matriz. Los tipos de matriz son:
Matriz Columna
Es la matriz compuesta por una columna (n=1)
Matriz Fila
Es la matriz compuesta por una fila (m=1)
Matriz Rectangular
Es la matriz donde el número de filas es diferente al número de columnas (m ≠ n)
Matriz Cuadrada
Es la Matriz que el número de filas es igual al número de columnas (m = n)
Matriz Triángulo Inferior
Es una Matriz cuadrada donde todos los numeros por debajo de la diagonal principal son igual a cero “0”.
Matriz Triángulo Superior
Es una Matriz cuadrada donde todos los numeros por arriba de la diagonal principal son igual a cero “0”.
Matriz Diagonal
Es una Matriz cuadrada donde todos los elementos, a excepción de los elementos correspondientes a la diagonal principal, son igual a cero “0”
Matriz Escalar
Es una matriz diagonal, pero todos los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz Identidad o Matriz Unidad
Es la Matriz Escalar donde todos los elementos de la diagonal principal son igual a uno “1”.
Matriz Nula
Es la Matriz donde todos sus elementos son cero “0”
Matriz Opuesta
La Matriz opuesta es la Matriz que tiene todos los signos algebraicos contrarios a la matriz original.
Es decir si esta es nuestra matriz A:
Nuestra Matriz opuesta (-A) seria:
La matriz opuesta de “A” se denomina “-A” y es la matriz con todos los signos contrarios a la matriz original “A”.
Matriz Traspuesta
Una vez conocida la matriz Original A, la matriz traspuesta de A se denomina: Aᵀ, con el superíndice “T”. La matriz traspuesta Aᵀ se obtiene de cambiar ordenadamente las filas por las columnas
Matriz Simétrica.
Es cuando la matriz original es idéntica a la matriz traspuesta (A = Aᵀ). Solo aplica para matrices cuadradas.
Matriz Asimétrica
En el caso de una matriz cuadrada original “A” que es diferente a su matriz traspuesta “Aᵀ” (A ≠ Aᵀ).
Esperamos que hayas aprendido que es una matriz y cuáles son los tipos de matriz, de igual forma si tienes alguna duda, ¡déjanos tus comentarios!
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